Amikor a józan ész csődöt mond

Képzeljék el, hogy egy televíziós játék végén három ajtó közül kell választaniuk: az egyik a fődíjat rejti, a másik kettő mögött viszont nincs semmi. Ráböknek az egyikre, de mielőtt még kinyitnák, a műsorvezető (aki pontosan tudja, melyik mögött van a nyeremény) kinyit egy másik ajtót, ami mögött nincs semmi. Ezután felteszi önöknek a kérdést: kitartanak az eredeti választásuk mellett, vagy szeretnének átpártolni a másik, még csukott ajtóra? Hogy döntenek?

Nincs sok értelme variálni, igaz? Még a végén a fődíj helyett kiköt az ember a nagy semminél. Nos, az igazság az, hogy ha ezen a ponton megváltoztatjuk az eredeti döntésünket, megkétszerezzük a nyerési esélyeinket! „Miért?” – szakad ki szinte mindenkiből, aki először hallja az állítást. Nem hibáztatunk senkit, aki elsőre nem is hiszi el. Amikor mintegy 30 éve először vetődött fel széles körben a kérdés, még a matematikustársadalom kétharmada sem értett egyet a számítással. Reméljük, a cikk végére azért sikerül néhányakat meggyőzni. De addig is vissza a történet elejére.

A Monty Hall-paradoxon

Az Egyesült Államokban 55 évvel ezelőtt, vagyis 1963-ban indult minden idők egyik legsikeresebb tévés vetélkedője, a Let’s make a deal! (magyar fordításban kb. Kössünk alkut!). A show utolsó feladatában a játékosoknak három ajtóból kellett választaniuk egyet, és ha szerencsések voltak, a mögött lapult a fődíj. Ennek a játéknak volt a magyar adaptációja a Zsákbamacska, ahol a végén ajtók helyett függönyök rejtették a nyereményt, amelyek Rózsa György „Egyes színpad, nyílj ki!” felszólítására fedték fel magukat. Az amerikai műsor kapcsán először 1975-ben, egy Steve Selvin nevű statisztikus vetette fel, hogy ha a játékosoknak a korábban leírt módon lenne lehetőségük egy változtatásra, megnőne az esélyük. Cikke akkor nem kapott nagy visszhangot, ám 1990-ben egy népszerű publicista, a szuperintelligenciájáról ismert Marilyn vos Savant is foglalkozott a kérdéssel a Parade nevű magazin hasábjain. Amellett tette le a voksát, hogy Selvinnek igaza van: annak ellenére, hogy alapvetően ellentmond a józan észnek, a váltással megkétszereződnek az esélyek. A hölgy ezt követően mintegy tízezer, többségében értetlenkedő olvasói levelet kapott. Számos tudós is felháborodva írt neki, egyikük úgy fogalmazott: „ha javasolhatom, először talán tanulmányozzon egy általános iskolai matematikai könyvet, és utána foglaljon állást hasonló kérdésekben”.

Egy akkori felmérés szerint a lap olvasóinak mindössze 8 százaléka gondolta úgy, hogy Savantnak igaza van – az arány az akadémikusok körében is csak 35 százalékos volt.

A feladványt nem véletlenül nevezik Monty Hall-paradoxonnak: Monty Hall volt a szóban forgó amerikai műsor házigazdája, a paradoxon kifejezés pedig utal arra, hogy a megoldás éppen az ellentéte annak, amit a többség először gondol. A legtöbben ugyanis úgy gondolkodnak, hogy minden ajtónak egyforma az esélye, hogy fődíjat rejtsen, ezért nem érdemes egyikről a másikra átnyergelni. Való igaz, azt, hogy a műsorvezető által kinyitott, „üres” ajtó miért és hogyan befolyásolja a dolgokat, nehéz belátni. Azért most tegyünk erre egy kísérletet!

Duplázódik az esély

Amikor a játékos először kiválaszt egy ajtót, az esélye a fő- díjra 1:3-hoz, azaz kerekítve 33 százalék, ez világos. A kulcs az, hogy amikor a műsorvezető ezt követően megmutat egy ajtót, ami mögött nincs semmi, az általunk választott ajtó esélye nem megy fel 50 százalékra (pedig ekkor már csak 2 ajtó marad), hanem marad 1:3-hoz. Ennek oka, hogy mivel a műsorvezető tudja, hogy melyik ajtó mögött mi rejtőzik, akármilyen ajtót is válasszunk elsőre – azt, ami mögött a nyeremény van, vagy azok egyikét, amelyek mögött nincs semmi –, ő mindenképpen tud olyat nyitni, ami mögött semmi nincs. Ha „üres” ajtót választottunk, akkor kinyitja a másik üreset, ha a fődíjra böktünk, akkor pedig tetszőlegesen választ egyet a másik kettőből. Ez azt jelenti, hogy a műsorvezető nyitása semmilyen módon nem befolyásolja az eredetileg választott ajtónk nyerési esélyét – az tehát 33 százalék mindvégig. Ebből viszont az következik, hogy mivel már csak két ajtó van játékban, és az esélyeknek 100 százalékot kell kiadniuk, így a másik ajtó kétharmados eséllyel rejti a nyereményt. Vagyis a sanszunk duplázódik, ha váltunk. Megvan?

Ha nem, próbáljuk máshogy megközelíteni. Rendezzük táblázatba az összes lehetséges variációt: a fődíj ugyebár vagy az 1-es, vagy a 2-es, vagy a 3-as ajtó mögött van. Tegyük fel, hogy a játékos eredetileg minden esetben az 1-es ajtót választja. Az első három esetben kitart a választása mellett, a második három eshetőségnél cserél. Az eredményeket a táblázatban foglaltuk össze.

Nem értem, de elhiszem

Látható, hogy amikor a játékos kitart eredeti választása mellett, csak abban az esetben nyer, ha eleve jól bökött, vagyis 3-ból 1-szer. Ha viszont változtat, akkor pont fordítva: ha egy semmit sem rejtő ajtó mellett tette le a voksát, akkor végül nyerni fog. Mivel eredetileg 2:3-os az esélye, hogy „üres” ajtót választ, ezért váltás esetén kétharmados lesz a győzelmi sansza – azaz a cserével megduplázza az esélyeit.

Egy másik lehetséges szemléltetése a problémának, ha 3 helyett 100 ajtóval képzeljük el a játékot. Ekkor ugyan- úgy választunk egyet az elején, majd a műsorvezető kinyit 98 olyan ajtót, ami mögött semmi nincs – azaz a miénken kívül itt is egy ajtót hagy zárva. Ekkor talán könnyebb belátni, nincs sok esélye, hogy rögtön jól választottunk (egész pontosan 1 százalék), sokkal valószínűbb, hogy a műsorvezető a fennmaradó 99-ből azért hagyta éppen azt az egyet zárva, mert a mögött van a fődíj. Ez esetben a többség vélhetően már belemenne a cserébe. A logika pedig ennél a változatnál is ugyanaz, csak „nagyban”.

Ha van, aki még mindig ráncolja a szemöldökét, aggodalomra semmi ok. Vázsonyi Endre, azaz Andrew Vazsonyi magyar származású amerikai matematikus egy cikkében feleleveníti a pillanatot, amikor a 20. század egyik legelismertebb tudósának, a szintén magyar Erdős Pálnak mesélt a feladványról 1995-ben. „Lehetetlen. Nincs értelme” – mondta az idős Erdős, amikor közölték vele, hogy a váltással megkétszereződnek az esélyek. Vázsonyi előadta a cikkben is szereplő levezetéseket, de Erdőst azok sem győzték meg. Végül egy számítógépes program a szeme láttára szimulálta a játékot, és 100 ezer kísérlet során hajszálpontosan kirajzolódott, hogy az esetek kétharmadában nyer az, aki a változtatás mellett dönt. Erdős ekkor állítólag úgy állt fel a komputer elől: „Nem értem, miért, de elhiszem.”

Már előfizethet a Vasárnapi Hírekre, kattintson!